Quelle est la différence entre l'algèbre booléenne et la logique du premier ordre?


Réponse 1:

Au début (enfin, au 19e siècle), il y avait l'algèbre de Boole.

C'était une façon de définir ce que des choses comme «ET» et «OU» signifiaient en matière de mathématiques.

Plus tard, l'algèbre booléenne a été rendue plus (mathématiquement) formelle en introduisant une définition vraiment, vraiment, étanche de ce que des choses comme «preuve» signifiaient.

Donc, fondamentalement, si vous avez une instruction logique comme "(A ET B) OU (A ET C) = A ET (B OU C)"

... alors vous pouvez utiliser les règles de la logique propositionnelle pour voir si elle découle naturellement des axiomes (les hypothèses mathématiques fondamentales qui forment la définition de l'algèbre.) Si c'est le cas, c'est une vraie déclaration.

Cette discipline de «voir si elle suit» est appelée logique propositionnelle.

La logique de prédicat est une extension de la logique propositionnelle qui introduit des choses comme "POUR TOUS" et "IL EXISTE". Cette forme de logique vous permet de faire des déclarations qui peuvent être vraies, mais qui ne peuvent pas réellement être prouvées à partir des axiomes.

La logique du premier ordre est largement synonyme de «logique de prédicat».


Réponse 2:

Il y a beaucoup de différences entre l'algèbre booléenne et la logique du premier ordre:

  1. Les deux langages sont des systèmes formels, cependant, l'univers des BAs se compose uniquement de valeurs de vérité et, par conséquent, il ne nécessite pas de quantificateurs, de symboles fonctionnels et de prédicats: par conséquent, son alphabet n'est composé que de variables propositionnelles, de connecteurs et d'accolades; de l'autre côté, l'univers du FOL (dans le cas de langages dénombrables normalisés) se compose de divers objets (et aussi de deux valeurs de vérité dans le cas du FOL classique): d'où son alphabet qui a besoin de quantificateurs, de symboles prédicats et fonctionnels, de variables et de constantes individuelles ainsi que les variables propositionnelles. Les types de logique On peut avoir n'importe quel type de FOL que l'on veut: classique, intuitionniste, pertinence, modal, à plusieurs valeurs, etc., etc. D'autre part, BA est la représentation algébrique uniquement de propositionnelle classique logique. Ou, en cas de logique propositionnelle intuitionniste, on peut avoir une algèbre pseudo-booléenne (c'est-à-dire BA où la loi du milieu exclu ne tient pas). Modèles Comme je l'ai déjà dit, BA n'est pas un modèle pour FOL. On peut voir comment se déroule l'algèbre. Il faut d'autres structures algébriques pour avoir des modèles algébriques pour le FOL classique.

Réponse 3:

La logique sententielle classique est un modèle d'algèbre booléenne.

La logique du premier ordre unit une certaine forme de logique sententielle, un domaine d'individus (généralement abstrait), des variables s'étendant sur des individus, des opérateurs de liaison de variables appelés quantificateurs et des prédicats dénotant les propriétés d'une ou plusieurs variables quantifiées. Les prédicats dont les variables sont quantifiées donnent des valeurs de vérité. Les logiques du premier ordre sont des modèles d'algèbres polyadiques ou cylindriques.

Une logique du premier ordre avec un ou plusieurs prédicats interprétés, et avec des axiomes portant sur ces prédicats, est une théorie du premier ordre. La théorie du premier ordre la mieux comprise est la théorie des ensembles axiomatiques, à partir de laquelle toutes les mathématiques peuvent être dérivées (google "Metamath" pour une dérivation continue de presque toutes les mathématiques de la théorie des ensembles axiomatiques du jardin commun ZFC. La théorie des catégories nécessite une théorie des ensembles supplémentaire l'axiome, l'axiome de Tarski-Groethendieck) un nombre énorme d'abréviations appelées définitions.

L'algèbre booléenne est une structure algébrique courante. La logique du premier ordre est une passerelle vers toutes les mathématiques et vers une grande partie de la logique formelle, et est au cœur de beaucoup d'informatique et d'IA. La simplicité, la portée et la puissance de la logique du premier ordre sont progressivement devenues claires entre 1920 et 1950.