Quelle est la différence fondamentale entre un ensemble fini et un ensemble infini?


Réponse 1:

J'écris ici la différence fondamentale entre 3 catégories ..

1: ensemble fini

2: ensemble infini dénombrable

3: Ensemble infini non dénombrable.

Nous pouvons différencier les 3 catégories ci-dessus simplement en vérifiant leur comptabilité. Mais l'essentiel est de savoir comment vérifier la comptabilité ...

Dans FINITE SETS, bien sûr, les éléments sont dénombrables, par exemple: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} C = {x: x <50, x appartient à N} etc etc. Dans tous ces exemples, la cardinalité est très claire.

Mais dans INFINITE SETS: les éléments peuvent être potentiellement comptés ou ne peuvent pas être comptés. Comme, on commence par l'ensemble infini avec la plus petite cardinalité…

Ensemble de nombres naturels N-> Infini, dénombrable

Ensemble de nombres entiers W-> Infini, dénombrable

Ensemble d'entiers Z -> Infini, dénombrable

Ensemble de nombres rationnels Q -> Infini, dénombrable

Ensemble de nombres irrationnels I -> Infini, indénombrable

Ensemble de nombres réels R -> Infini, indénombrable

Un ensemble infini est dénombrable s'il existe une cartographie bijective, c'est-à-dire qu'il existe une correspondance un à un entre les éléments de l'ensemble et le nombre naturel. Cela signifie que nous pouvons organiser les éléments de l'ensemble en une seule ligne ou en lignes et colonnes. et nous sommes très sûrs du numéro suivant. Et en ce qui concerne les nombres naturels, nous pouvons organiser les éléments .. comme le 1er élément, le 2e élément, le 3e élément ……… ainsi de suite… La seule chose que, ces lignes et colonnes continuent à l'infini …….

Par exemple… nombres naturels 1,2,3,4,5,6,7, ……… .. infini

Nombres entiers O, 1,2,3,4,5, ………… infini

Entiers infini négatif… .. -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 …… infini

Rationnels 1/1, 1 / 2,1 / 3,1 / 4, …… ..

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1,3 / 2,3 / 3,3 / 4, ...

4 / 1,4 / 2,4 / 3,4 / 4,4 / 5 ........

Si nous continuons de cette manière, nous pouvons remarquer que toutes les fractions possibles seront adaptées à la liste ci-dessus dans l'une ou l'autre des lignes et des colonnes.

Donc, tous ci-dessus sont des ensembles infinis dénombrables.

Maintenant, comme nous savons que l'ensemble du nombre réel est l'union de deux ensembles, rationnels et irrationnels

L'ensemble des nombres réels est indénombrable car entre tous les 2 nombres réels, il y a un autre nombre rationnel et irrationnel, donc la cartographie bijective entre les éléments et les nombres naturels n'est pas possible.

Ainsi, un ensemble de nombres réels est indénombrable et l'ensemble de rationnels sont dénombrables. Donc, l'ensemble de l'irrationnel doit être innombrable. Si ce n'est pas le cas, l'ensemble des nombres réels deviendra dénombrable, ce qui n'est pas le cas…


Réponse 2:

Si nous avons un ensemble fini, et que nous comptons ses éléments (c.-à-d., Les associer un à un avec les nombres naturels), alors le comptage prend fin, et le nombre naturel correspondant avec lequel nous avons terminé est le nombre de éléments de l'ensemble.

Si nous avons un ensemble infini et que nous comptons ses éléments, alors le comptage ne se termine pas. Il n'y a pas de nombre naturel correspondant au nombre d'éléments dans l'ensemble.

Voilà la différence fondamentale. Autrement dit, les éléments d'un ensemble fini ne peuvent pas être mis en correspondance un à un avec tous les éléments de

N\mathbb N

. Ou, en termes techniques, il n'y a pas d'injection de

N\mathbb N

dans un ensemble fini, mais il y a une telle injection dans un ensemble infini.

De plus, tout ensemble infini a la propriété que certains de ses éléments peuvent être supprimés, et pourtant le sous-ensemble résultant peut toujours être mis en correspondance un à un avec l'ensemble d'origine (par exemple, les nombres naturels peuvent être appariés, un à -un, avec son sous-ensemble de nombres pairs). Ce n'est pas possible avec un ensemble fini. Il s'agit en fait d'une propriété distinctive: elle peut être utilisée pour définir la différence essentielle entre un ensemble fini et un ensemble infini.


Réponse 3:

Des ensembles infinis peuvent être injectés dans un sous-ensemble approprié. Les ensembles finis ne le peuvent pas.

Déballons cela.

Une «injection» d'un ensemble dans un autre signifie que pour chaque élément de l'ensemble «de», vous choisissez un élément unique dans l'ensemble «dans».

Par exemple, étant donné l'ensemble des côtés d'un cube et les nombres 1 à 10, une injection des côtés vers les nombres mettrait un nombre différent de chaque côté du cube. Si vous mettez 1 sur deux côtés différents, ce ne serait pas une injection. Notez qu'une injection ne nécessite pas que tous les éléments de l'ensemble «into» soient utilisés. Dans l'injection des côtés du cube dans 1–10, il y avait quatre nombres qui n'étaient pas utilisés.

Un «sous-ensemble approprié» d'un ensemble a tous ses éléments dans l'ensemble, mais tous les éléments de l'ensemble ne sont pas dans le sous-ensemble. Par exemple, l'ensemble des nombres premiers à 1 chiffre est un sous-ensemble approprié de 0 à 9, puisque 2,3,5 et 7 sont tous dans 0 à 9, mais 8 ne fait pas partie de l'ensemble des nombres premiers à 1 chiffre.

Examinons les «nombres naturels» et les «nombres naturels pairs». Il est clair que tous les nombres naturels, même naturels, sont des nombres naturels, donc les evens sont un sous-ensemble des naturels. Il est également clair que 3 est un nombre naturel qui n'est pas pair. Donc, evens est un sous-ensemble approprié de produits naturels.

Mais chaque nombre naturel peut être associé à un nombre naturel pair unique. Vous avez

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

. Cette cartographie est une injection.

Cela signifie que les nombres naturels sont un ensemble infini.

Comme autre exemple, considérons l'ensemble de chaînes de lettres de longueur finie. Cet ensemble ressemble à

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

, bien que je ne les ai pas classés dans un ordre particulier. L'un des éléments de l'ensemble est la chaîne composée de la lettre «a» répétée un temps googleplex. Considérez maintenant l'ensemble

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

, ou l'ensemble de chaînes formé en prenant chaque chaîne

Σ\Sigma^*

et en y ajoutant la lettre «b». Donc

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, y compris la chaîne composée de la lettre "b" suivie d'une lettre googleplex "a". Étant donné que chaque élément de

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Les deux autres réponses parlent d'ensembles «dénombrables» et «indénombrables», qui n'entrent pas vraiment dans le vif du sujet. En gros, un ensemble est "dénombrable" lorsqu'il peut être injecté dans l'ensemble de nombres naturels. Tous les ensembles finis sont dénombrables, l'ensemble des nombres naturels est évidemment dénombrable sous cette définition,

Σ\Sigma^*

est dénombrable.

Le mathématicien Georg Cantor a prouvé qu'il est impossible d'injecter l'ensemble de puissance d'un ensemble (l'ensemble de tous les sous-ensembles) dans l'ensemble - vous ne pouvez pas injecter

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

dans

{1,2}\{1,2\}

par exemple. Cela signifie que vous ne pouvez pas injecter

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, ainsi donc

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

n'est pas dénombrable ou n'est pas dénombrable. Ainsi, certains ensembles infinis sont dénombrables, et certains ensembles infinis sont indénombrables.

La notion selon laquelle un ensemble infini peut être injecté dans un sous-ensemble propre de lui-même est effectivement la définition de ce que signifie qu'un ensemble est infini.