Si la somme des carrés de deux nombres est 80 et que le carré de différence entre les deux nombres est 36, alors quel est le produit de deux nombres?


Réponse 1:

La réponse est 22.

Soit les deux nombres x et y.

Les conditions données sont:

  • La somme des carrés de deux nombres est 80.x² + y² = 80 Le carré de différence entre les deux nombres est 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Prenez la deuxième condition et dérivez une valeur pour x².

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Remplacez x² dans la première condition par la valeur dérivée.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Ainsi, le produit des deux nombres (x, y) est 22.


Réponse 2:

Première condition:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Deuxième condition:

(ab)2=36(a-b)^2=36

De la deuxième condition:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Remplacement de la première condition:

802ab=3680-2ab=36

, réorganiser

2ab=8036=442ab=80-36=44

Donc

2ab=442ab=44

et

ab=22ab=22

.

La réponse: le produit est 22.

Si vous souhaitez résoudre le système complet: la différence est

36=6\sqrt{36}=6

et le produit est

2222

, donc pour

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Donc, si nous obtenons les solutions pour

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

nous pouvons résoudre le problème.

La solution pour

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

est

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Donc

a=31+3a=\sqrt{31}+3

et

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Il est facile de prouver que ces deux nombres remplissent les conditions de la question et de la réponse.


Réponse 3:

Première condition:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Remplacement de la première condition:

319=2231–9=22

, réorganiser

x2+y2=80x^2+y^2=80

Donc

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

et

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Si vous souhaitez résoudre le système complet: la différence est

36=6\sqrt{36}=6

et le produit est

2222

, donc pour

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Donc, si nous obtenons les solutions pour

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

nous pouvons résoudre le problème.

La solution pour

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

est

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Donc

a=31+3a=\sqrt{31}+3

et

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Il est facile de prouver que ces deux nombres remplissent les conditions de la question et de la réponse.